تانگرام

  

مربع تانگرام یاجادویی

مربع های جادوی یاهداف دانش آموزان در انتها باید بتوانند:طرح ها را بررسی کنند و با استفاده از نمادها نمایش دهند. وسایل لازم برگه ی فعالیت از بین بردن جادوی مربع های جادویی
طرح درسمدت ها است که مربع جادویی به عنوان یک سرگرمی ریاضی که مولد هیجان و هروجی جالب برای فهم ریاضیات است.مربع جادویی مرتبه ی n ام، دنباله ای مربعی، متشکل از 
عدد صحیح مختلف است که مجموع n عدد در هر سطر، ستون و قطر برابر با عدد ثابتی است که به آن ثابت جادویی می گویند. شکل زیر مثالی از یک مربع جادویی مرتبه ی 3، با ثابت جادویی 15 است

تاریخچه ی مختصری از مربع های جادوییتاریخچه ی مربع های جادویی به 2200 سال قبل از میلاد مسیح می رسد. بر اساس افسانه ای چینی، امپراطور چین، "یو" در حال پیاده روی در کناره ی رودخانه ی زردمتوجه لاک پشتی با طرح منحصر به فردی بر روی لاکش شد (شکل مقابل را مشاهده کنید.). امپراطور این طرح عجیب را یوشونامید. به هر حال، اولین مربع جادویی ثبت شده، در کتاب قرن اول "دا- دای- لیجی"  مشاهده می شود

مربع های جادویی در چین در عرصه های مختلف دانش به کار گرفته شده اند، مانند ستاره شناسی، پیشگویی، فهم فلسفی، پیشامد های طبیعی و رفتار انسان.

علاوه بر این، مربع های جادویی در عرصه های دیگر فرهنگ چین تأثیرگذار بوده اند. به عنوان مثال، ظرو فسرامیکی چینی که در کلکسیون ها و موزه ها مشاهده می شوند، با نوشته های عربی و مربع های جادویی تزئین شده اند. به احتمال زیاد مربع های جادویی از چین به هند و سپس به کشور های عربی رسیده است. از کشور های عربی به اروپا و سپس به ژاپن رسیده است. در هندوستان، مربع های جادویی برای اهداف مختلفی به غیر از دانش ریاضیات به کار رفته است.برای مثال "واراهامیهیرا"  از یک مربع جادویی مرتبه ی 4، برای مشخص کردن دستورالعمل ساخت عطر در کتاب خود، پیرامون نگاه به آینده سال 550 پس از میلاد، استفاده کرده است. قدیمی ترین مربع جادویی درجه ی 3، در هند در کار پزشکی ورندا ، به نام سیدها یوگا  (سال 900 پس از میلاد)، برای کاهش درد زایمان به کار رفته است.

ساخت مربع های جادویی، یکسرگرمی باپیشینه ی غنی است.درباره ی آغازتحقیقات درموردمربعهای جادویی درکشورهای اسلامی،اطلاعات بسیارکمی دردست است. مستنداتی که ازقرن 9 و 10 دردست است،نشان میدهدکه دراین دوران،درکشورهای اسلامی عرب زبان به وجودآمده بود. علاوه براین،تاریخ نشان میدهدکه مربعهای جادویی دراین سرزمینهابه صورت کاملاًتفریحی ونه جادویی،معرف یونامگذاری شده بودند.عنوان باستانی عربی برای مربعهای جادویی "وفق الاعداد" به معنای "آرایش هماهنگ اعداد" است

درقرون یازدهم ودوازدهم،ریاضیات اسلامی بامعرفی قوانین ساده برای ساخت مربعهای جادویی جهش بزرگی به جلوداشت. قرن سیزدهم،شاهدکارهایی درزمینه ی مربعهای جادویی بودکه به جادووپیشگویی راه پیداکرد. درنقل قول زیراز (کمن) که ازاهمیت انتراعی مربعهای جادویی صحبت میکند،این تفکرتوضیح داده شده است:"

اگردرحالت کلی مربعهای جادویی ماکتهای کوچکی ازدنیابودند،اکنون میتوان آنهاراماکتهایی اززندگی تحت جریان ثابت یدرنظرگرفت که مرتباًدراثرتماس باسرچشمهای مقدس،درمرکزهستی ازنوساخته میشود."مستنداتی دردست است که حاکی ازتوجه بسیاربه مربعهای جادویی درغرب آفریقامیباشد.

مربعهای جادویی بافرهنگ غرب آفریقاآمیخته شده اند. این مربعها بار معنوی خاصی داشتندودرپوشاک،نقابهاوصنایع دستی مذهبی به کارمیرفته اند. آنهاهمچنین درطراحی وساخت خانه هاتأثیرگذاربوده اند. دراوایل قرن 18 "محمد بن محمد"،ستاره شناس،ریاضیدان ومتصوف مسلمان عرب آفریقابه مربعهای جادویی علاقه مندشد. اودریکی ازکتابهایش،مثالهاوهمچنین طریقه ی ساخت مربعهای جادویی مرتبه ی فردراآورده است.درقرن پانزدهم،نویسنده ی روم شرقی، "مانوئل موسکوپلوس"،مربعهای جادویی رابه اروپائیان معرفی کرد. مربعهای جادویی درفرهنگ اروپایی همچون سایرفرهنگها،بامفاهیم پیشگویی،کیمیاگری وستاره شناسی آمیخته بود.

 اولین مربع جادویی مکتوب دراثرمعروف حکاکی هنرمندآلمانی "آلبرشت دورر" پدیدارشد. درسال 1514 دورر،یک مربع جادویی رادرگوشه ی سمت راست اثرکه یک بشقاب مسی قلمزنی است،به کاربرد.باورودکتاب "سوان فاتن گزگ"  اثر "چنداوی" چینی که درسال 1592 میلادی چاپ شده،به ژاپن،مطالعه ی مربعهای جادویی درژاپن آغازشد. باتوجه به اینکه مربعهای جادویی موضوع محبوبی بودند،توسط اکثریت جامعه ی ریاضیدانان معروف ژاپن که "واسان "نامیده میشدند،موردمطالعه قرارگرفتند. درتاریخ ژاپن اولین نشان مستندازمربع های جادویی درکتاب "کوچی زوسام"آمده است که درآن مربع جادویی 3×3 شرح داده شده است.درطول قرن هفدهم،توجه قابل ملاحظه ای به مطالعه ی مربعهای جادویی شد. درسالهای 1688 – 1687 اشرافزاده ی فرانسوی "آنتونی دی لالابره" ،تئوری ساخت مربعهای جادویی راموردمطالعه قرار داد. درسال 1686 "آداماس کوچانسکی"  مربعهای جادویی رابه سه بعدگسترش داد

دراوایل قرن نوزدهم،ریاضیدانان ازمربعهادرمسئله های احتمال وآنالیزاستفاده کردندامروزه مربعهای جادویی دررابطه باآنالیز،ریاضیات ترکیباتی،ماتریسها،ریاضیات وهندسه به کاربرده میشوند. بااین وجود، "جادو" همچنان درمربعهای جادویی باقیمانده است. روش "فرو" برای ساخت مربعهای جادویی اولین کاربردریاضیاتی مربعهای جادویی درهندتوسط تاکورافرو دراثر وی "گانی تاسارا" (سال 1315 پس ازمیلادمسیح)،معرفی شده است فرو،روشی برای ساخت مربعهای جادویی مرتبه ی فردابداع کرد:باقراردادن عدد1درخانه ی پایین ستون وسط مربع شروع کنید. (شکل زبررامشاهده کنید.). عدد (1+ n) رابه عدد 1 اضافه کنیدوحاصل رادرخان ه ی بالایی بگذارید. مجدداً (1+n) رابه این عدداضافه کرده حاصل رادرخانه ی بالاترقراردهید. 

اولین عددصحیح مثبت باشند. " آنتونی دی لالابره" فردی که نماینده ی لویس به سیامازسال 1687 تا 1688 بود،روش ساده ای برای پیداکردن مربع جادویی نرمال ازهردرجه ی فرد راابداع کرد. روش زیربرای مربع مرتبه ی 5 به دانش آموزان نشان داده میشود:"مربعی رسم کن وآنرابه 25 خانه تقسیم کن. (شکل دوم برگه ی فعالیت راببین.) خانه هایی درامتدادلبه های بالای وسمت راست به مربع اضافه کن. خانه ی اضافه شده درگوشه ی سمت راست بالا راهاشوربزن. خانه ی هاشورخورده راپرشده تلقی کن. بانوشتن عدد 1 درخانه ی وسط سطربالای مربع جادویی اصلی شروع کن. قانون کلی،حرکت قطری به سمت بالاوراست بااعداد متوالی است. این قانون،دواستثنادارد.

  اول اینکه اگربه خانه ای خارج ازمربع رسیدید،باگذشتن ازمربع به داخل آن بازگردید؛یاازراست به چپ ویاازبالابه پایین. دوم،اگربه خانه ای رسیدیدکه هم اکنون پرشده است،بایدعددموردنظررادرخانه ی پایینی آخرین خانه ی پرشده بنویسیدومجدداً قانون کلی راادامه دهید." هنگامی که دانش آموزان این مثال مربع درجه ی 5 راانجام دادند،ازآنهابخواهیدکه روش "لابره" رابا روش "فرو" که درفعالیت 3 آمده،مقایسه کنند. راه حله ای برگه ی فعالیت1. الف: مربع جادویی مرتبه ی 5 است،زیراابعادآن 5×5 میباشد.1. ب: ثابت جادویی 65 است،زیرامجموعه رسطر،ستون وقطر 65 میباشد.2. الف: یک مربع جادویی مرتبه ی 4 باثابت 34 برای